Diclib.com
Словарь ChatGPT

Поиск в словаре Индивидуальные решения

Введите слово или словосочетание на любом языке 👆

Язык:

Перевод и анализ слов искусственным интеллектом ChatGPT

На этой странице Вы можете получить подробный анализ слова или словосочетания, произведенный с помощью лучшей на сегодняшний день технологии искусственного интеллекта:

как употребляется слово
частота употребления
используется оно чаще в устной или письменной речи
варианты перевода слова
примеры употребления (несколько фраз с переводом)
этимология

Что (кто) такое Поверхность - определение

ДВУМЕРНОЕ МНОГООБРАЗИЕ

Простой кусок поверхности; Поверхности; Касательная плоскость; Теория поверхностей; Внутренняя геометрия; Внутренняя геометрия поверхности; Внутренняя геометрия поверхностей; Нормальное сечение; Поверхностей теория; Односторонняя поверхность; Поверхность (топология)

Найдено результатов: 298

поверхность

1. ж.
1) а) Наружная сторона чего-л.
б) Верхний слой массы какого-л. вещества, жидкости и т.п.
2) Совокупность неровностей земной коры, образующих низменности, возвышенности и т.п.; рельеф (в географии).
2. ж.
1) а) Граница, отделяющая геометрическое тело от внешнего пространства или от другого тела (в геометрии).
б) След движения какой-л. линии в пространстве.
2) Сторона плоскости или твердого тела, пересекающаяся с другими сторонами под углом; грань.
3. ж. устар.
Преимущество, превосходство над кем-л. (в борьбе, споре и т.п.).

ПОВЕРХНОСТЬ

1. В математике: общая часть геометрических тел.

2. наружная сторона чего-нибудь.

П. озера. Скользить по поверхности чего-н. (также перен.: не вникать глубоко в суть, ограничиваясь лишь приблизительным, внешним знакомством). Лежать на поверхности (также ерен.: о чем-н. ясном, самоочевидном).

Поверхность

Поверхность уровня. Если равнодействующая сил, приложенных кматериальной точке, имеет П. функцию V, то все пространство, в которомможет находиться точка, можно представить себе заполненным системоюбесконечного множества поверхностей, на каждой из которых V имеет одну иту же величину. Такие поверхности называются поверхностями уровня;каждая из них имеет свой параметр, а именно ту численную величину,которую имеет V в точках этой поверхности. сила, действующая на точку,направлена всегда по нормали к той поверхности уровня, на которойнаходится точка и направлена в ту сторону, где находятся поверхностиуровня с параметрами большими параметра, свойственного этой поверхности.Величина силы равняется положительно взятому корню из суммы квадратовпроизводных от V по x, y, z; эта величина: называется дифференциальным параметром поверхности уровня врассматриваемой точки. В гидростатике доказывается, что жидкость,капельная или упругая, может быть в равновесии только под влиянием сил,имеющих П., и что при таком состоянии поверхности уровня, где потенциалимеет одну и ту же величину, суть вместе с тем и поверхности одинаковогогидростатического давления, а при равновесии газообразных масс илиупругих жидкостей поверхности уровня суть поверхности равной плотности иравного давления. Д. Б. Учете о потенциале играет весьма большую роль в теории электрическихи магнитных явлений. Электрические явления вообще происходят так, какесли бы существовали два особых вещества или флюида, действующих друг надруга по закону Кулона, т.е. с силой пропорциональной произведениювзаимодействующих количеств и обратно пропорциональной квадрату ихрасстояния. Эти флюиды для краткости называют положительными иотрицательным электричествами. Они находятся на поверхностинаэлектризованных тел, а явление электрического тока может бытьрассматриваемо как течение этих электричеств в проволоках, при чемтечение положительного электричества в одном направлении и течениеотрицательного электричества в противоположном направлении могут бытьрассматриваемы как явления между собою тожественные. Единица количестваэлектричества есть такое количество, которое на равное ему, находящеесяна единице расстояния от него, действует с силой, равной единице силы.C.G.S. - единица количества электричества - получается, когда расстояния1 стм. и сила 1 дина. Кулон = 3. 109 C.G.S. единиц электричества. Еслимы имеем наэлектризованные тела, то потенциал V в любой точке Мпространства равен работе, которую производят электрические силы припереходе единицы электричества из М по произвольному пути вбесконечность, или на весьма большое расстояние. В различных точкахпространства V - различное. Если количество h электричества переходит източки М в другую точку N, то работа r электрических сил равна r=h (V1 -V2), где V1 и V2 потенциалы в точках М и N. Так как работа r может бытьтолько положительная, если h перемещается (течет) под влияниемэлектрических сил, то ясно, что положительное электричество (h

поверхность

ПОВ'ЕРХНОСТЬ, поверхности, ·жен. Наружная, особенно верхняя сторона предмета. Поверхность земли. Поверхность воды. Гладкая, зеркальная поверхность.

| Граница, отделяющая геометрическое тело от внешнего пространства или от другого тела; след движения какой-нибудь линии в пространстве (мат.). Поверхность вращения. Поверхностями второго порядка являются шар, эллипсоид, параболоид и гиперболоид.

| Протяженность части поверхности (в предыдущем ·знач.), ограниченной контуром, измеряемой в квадратных единицах (мат.). Поверхность круга. Поверхность шара. Поверхность конуса.

• Несущая поверхность (авиац.) - нижняя поверхность крыльев самолета. Скользить по поверхности чего (ирон.) - перен. не вникать глубоко во что-нибудь, ограничиваться внешним знакомством с чем-нибудь.

ПОВЕРХНОСТЬ

общая часть двух смежных областей пространства. В аналитической геометрии в пространстве поверхности выражаются уравнениями, связывающими координаты их точек, напр. Ax + By + Cz + D = 0 - уравнение плоскости, x2 + y2 + z2 = R2 - уравнение сферы.

Поверхность

одно из основных геометрических понятий. При логическом уточнении этого понятия в разных отделах геометрии ему придаётся различный смысл.

1) В школьном курсе геометрии рассматриваются плоскости, многогранники, а также некоторые кривые поверхности. Каждая из кривых П. определяется специальным способом, чаще всего как множество точек, удовлетворяющих некоторым условиям. Например, П. шара - множество точек, отстоящих на заданном расстоянии от данной точки. Понятие "П." лишь поясняется, а не определяется. Например, говорят, что П. есть граница тела или след движущейся линии.

2) Математически строгое определение П. основывается на понятиях топологии. При этом основным является понятие простой поверхности, которую можно представить как кусок плоскости, подвергнутый непрерывным деформациям (растяжениям, сжатиям и изгибаниям). Более точно, простой П. называется образ гомеоморфного отображения (т. е. взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения) внутренности квадрата (см. Гомеоморфизм). Этому определению можно дать аналитическое выражение. Пусть на плоскости с прямоугольной системой координат u и υ задан квадрат, координаты внутренних точек которого удовлетворяют неравенствам 0 < u < 1, 0 < υ < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = φ(u, υ), у = Ψ(u, υ), z = χ(u, υ) (параметрические уравнения П.). При этом от функций φ(u, υ), Ψ(u, υ) и χ(u, υ) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, υ) и (u', υ') были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x', у', z'). Примером простой П. является полусфера. Вся же сфера не является простой П. Это вызывает необходимость дальнейшего обобщения понятия П. Поверхность, окрестность каждой точки которой есть простая П., называется правильной. С точки зрения топологического строения, П. как двумерные многообразия разделяются на несколько типов: замкнутые и открытые, ориентируемые и неориентируемые и т.д. (см. Многообразие).

В дифференциальной геометрии исследуемые П. обычно подчинены условиям, связанным с возможностью применения методов дифференциального исчисления. Как правило, это - условия гладкости П., т. е. существования в каждой точке П. определённой касательной плоскости, кривизны и т.д. Эти требования сводятся к тому, что функции φ(u, υ), Ψ(u, υ), χ(u, υ) предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некоторых вопросах - неограниченное число раз дифференцируемыми или даже аналитическими функциями. Кроме того, требуется, чтобы в каждой точке хотя бы один из определителей

,

,

был отличен от нуля (см. Поверхностей теория).

В аналитической геометрии и в алгебраической геометрии П. определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений:

Ф (х, у, z) = 0. (*)

Таким образом, определённая П. может и не иметь наглядного геометрического образа. В этом случае для сохранения общности говорят о мнимых П. Например, уравнение

х² + у² + z² + 1 = 0

определяет мнимую сферу, хотя в действительном пространстве нет ни одной точки, координаты которой удовлетворяют такому уравнению (см. также Поверхности второго порядка). Если функция Ф (х, у, z) непрерывна в некоторой точке и имеет в ней непрерывные частные производные

, из которых хотя бы одна не обращается в нуль, то в окрестности этой точки П., заданная уравнением (*), будет правильной П.

Поверхность

Пове́рхность в геометрии и топологии — двумерное топологическое многообразие. Наиболее известными примерами поверхностей являются границы геометрических тел в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. С другой стороны, существуют поверхности (например, бутылка Клейна), которые нельзя вложить в трёхмерное евклидово пространство без привлечения сингулярности или самопересечения.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Поверхность

ОДНОСТОРОННЯЯ ПОВЕРХНОСТЬ

поверхность, не имеющая (в отличие, напр., от сферы) двух различных сторон. Простейшая односторонняя поверхность - лист Мебиуса.

Поверхностей теория

раздел дифференциальной геометрии, в котором изучаются свойства поверхностей (см. Дифференциальная геометрия, Поверхность). В классической П. т. рассматриваются свойства поверхностей, неизменные при движениях. Одна из основных задач классической П. т. - задача измерений на поверхности. Совокупность фактов, получаемых при помощи измерений на поверхности, составляет внутреннюю геометрию (См. Внутренняя геометрия) поверхности. К внутренней геометрии поверхности относятся такие понятия, как длина линии, угол между двумя направлениями, площадь области, а также Геодезические линии, геодезическая кривизна линии и др. Внутреннюю геометрию определяет первая основная квадратичная форма поверхности

ds ²= Edu²+ 2Fdudυ + Gdυ², (1)

[здесь Е = r²_u, F = r_u r_υ, G = r²_υ, r = r (u, υ) - радиус-вектор переменной точки поверхности, u, υ - её криволинейные координаты], выражающая квадрат дифференциала дуги линии на поверхности. Именно, если известны функции Е = E (u, υ), F = F (u, υ), G = G (u, υ), то, зная внутренние уравнения линии u = u (t), υ = υ(t) и интегрируя ds, можно определить длину этой линии; кроме того, существуют формулы, которые при данных Е, F, G выражают угол между двумя линиями и площадь области по внутренним уравнениям этих линий и по внутреннему уравнению контура области. Изучение пространственного строения окрестности точки на поверхности производится при помощи второй основной квадратичной формы поверхности

2h = Ldu² + 2Mdudυ + Ndυ², (2)

здесь L = r_uиn, М = r_u_υn, N = r_υυn,

- единичный вектор нормали к поверхности. Величина h с точностью до малых более высокого порядка относительно du, dυ равна расстоянию от точки М' поверхности с координатами u + du, υ + dυ до касательной плоскости γ в точке М с координатами u, υ, причём расстояние берётся со знаком + или - в зависимости от того, с какой стороны от у расположена точка М'. Если форма (2) знакоопределённая, то поверхность в достаточно малой окрестности точки М располагается по одну сторону от касательной плоскости γ, и в этом случае точка М поверхности называется эллиптической (рис. 1). Если форма (2) знакопеременная, то поверхность в окрестности точки М располагается по разные стороны от плоскости γ, и точка М тогда называется гиперболической (рис. 2). Если форма (2) знакоопределённая, но принимает нулевые значения (при не равных одновременно нулю du и dυ), то точка М называется параболической (на рис. 3 показан один из примеров строения поверхности в окрестности параболической точки).

Более точная характеристика пространственной формы поверхности может быть получена с помощью исследования геометрических свойств линий на поверхности. Пусть М - некоторая точка поверхности S и n - единичный вектор нормали к поверхности в М. Линия (L) пересечения S с плоскостью, проходящей через n в направлении

называется нормальным сечением в этом направлении, а ее кривизна - нормальной кривизной 1/R, которая вычисляется по формуле:

.

Нормальная кривизна поверхности в данной точке М в данном направлении

может рассматриваться как мера искривлённости поверхности в М в направлении

. Экстремальные значения нормальной кривизны в данной точке называется главными кривизнами, а соответствующие направления на поверхности - главными направлениями. Кривизна произвольного нормального сечения в данной точке связана простым соотношением с главными кривизнами (см. Эйлера формулы). Если главная кривизны в точке М различны, то в этой точке существуют два различных главных направления. Линии, направления которых в каждой точке являются главными, называются линиями кривизны. Направления, в которых нормальная кривизна равна нулю, называются асимптотическими, а линии, имеющие в каждой точке асимптотическое направление, - асимптотическими линиями. Поверхность, состоящая из эллиптических точек (например, сфера), не имеет асимптотических линий. Поверхность, состоящая из гиперболических точек, имеет два семейства асимптотических линий (например, две системы прямолинейных образующих однополостного гиперболоида). Поверхность, состоящая из параболических точек, имеет одну систему асимптотических линий - систему прямолинейных образующих. Дальнейшее изучение свойств произвольных линий на поверхности (в первую очередь кривизн линий) тесно связано с кривизнами нормальных сечений. Кривизна k в данной точке М произвольной линии Г может быть вычислена по формуле:

,

где k_n - кривизна нормального сечения L в точке М в направлении касательной к Г, а θ - угол между главными нормалями к Г и L в этой точке (см. Мёнье теорема).

Поверхности, между точками которых можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что длины соответствующих линий равны, называются изометричными. Изометричные поверхности имеют одинаковую внутреннюю геометрию, но их пространственное строение может быть различным и главные кривизны в соответствующих точках у них могут быть также различными (например, окрестность точки на плоскости изометрична некоторой окрестности точки на цилиндре, но имеет иную пространственную структуру). Однако произведение К главных кривизн 1/R₁ и 1/R₂ в точке М не меняется при изометричных преобразованиях поверхности (теорема Гаусса, 1826) и может служить внутренней мерой искривлённости поверхности в данной точке. Величина К называется полной (или гауссовой) кривизной поверхности в точке М и выражается соотношением:

, (2)

которое называется формулой Гаусса (полная кривизна в соответствии с теоремой Гаусса может быть выражена только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные). Приведённая выше классификация точек регулярной поверхности может быть сопоставлена со значениями полной кривизны: в эллиптической точке кривизна положительна, в гиперболической - отрицательна и в параболической - равна нулю.

Во многих вопросах П. т. рассматривается другая характеристика искривлённости поверхности - т. н. средняя кривизна, равная полусумме главных кривизн поверхности. Так, например, одним из объектов исследований П. т. являются Минимальные поверхности, средняя кривизна которых в каждой точке равна нулю.

Важное значение в П. т. имеет вопрос о возможности изгибания (См. Изгибание) поверхности: можно ли утверждать, что данная поверхность будет изгибаемой. Математически этот вопрос формулируется следующим образом: возможно ли включить данную регулярную поверхность в однопараметрическое семейство изометричных неконгруэнтных регулярных поверхностей (конгруэнтные поверхности - поверхности, совмещаемые движением). Достаточно малые куски поверхностей положительной и отрицательной кривизны допускают непрерывные изгибания. Существуют поверхности с точкой уплощения (т. е. точкой, где все нормальные кривизны равны нулю), сколь угодно малая окрестность которой не допускает изгибания. Последний результат установлен советским геометром Н. В. Ефимовым. Кроме самой возможности изгибания, рассматриваются и изгибания специальных типов.

Задача изгибания поверхностей тесно связана с задачей определения поверхности по заданным основным квадратичным формам, получившей полное решение в работах немецкого математика К. Гаусса, русского математика К. М. Петерсона, итальянских математиков Г. Майнарди и Д. Кодацци и французского математика О. Бонне. Поскольку значение полной кривизны К поверхности может быть выражено через коэффициенты первой квадратичной формы, то уравнение (3) является одним из соотношений, связывающих коэффициенты первой (1) и второй (2) форм. Другие два соотношения

(4)

(здесь

;

;

;

- Кристоффеля символы второго рода) были установлены в 1853 К. М. Петерсоном. Справедливо и обратное утверждение - если коэффициенты двух форм, одна из которых положительно-определённая, удовлетворяют уравнениям (3) и (4), то существует определённая с точностью до движения и зеркального отражения поверхность, для которой указанные формы будут первой и второй квадратичными формами.

К числу наиболее важных проблем П. т. относится проблема разыскания признаков, которые позволяют по заданным двум основным квадратичным формам поверхности (в произвольных координатах) установить, относится ли поверхность к данному классу поверхностей или нет. Для решения этой общей проблемы, как и многих других проблем П. т., используются методы тензорного исчисления (См. Тензорное исчисление).

С начала 20 в. в П. т. появляется новое направление, в котором исследуется поверхность "в целом" по данным свойствам окрестностей её точек. Например, Л. Г. Шнирельманом и Л. А. Люстерником было доказано существование трёх замкнутых геодезических на регулярных замкнутых поверхностях, гомеоморфных сфере. Продолжение гладких поверхностей иногда приводит к появлению на них особенностей. Например, всякая развёртывающаяся поверхность, не являющаяся цилиндрической, при продолжении доходит до ребра (или острия в случае конуса). Рассмотрение поверхностей во всём их протяжении и с особенностями (т. е. отказ от требований дифференцируемости) потребовало изобретения принципиально новых методов исследования поверхностей и привлечения методов из других разделов математики. Развитие П. т. в этом направлении привело к созданию содержательных разделов геометрии. Так, например, глубокие и принципиально новые результаты были получены А. Д. Александровым и А. В. Погореловым в теории выпуклых поверхностей. Александровым был предложен новый метод исследования выпуклых поверхностей, основанный на приближении выпуклых поверхностей выпуклыми многогранниками.

Рассмотренные свойства поверхностей не меняются при любых изометрических преобразованиях всего пространства, т. е. они относятся к т. н. метрической П. т. Изучают также свойства поверхностей, инвариантные по отношению к какой-либо другой группе преобразований пространства, например группе аффинных или проективных преобразований. Аффинная П. т. рассматривает свойства поверхностей, неизменные при эквиаффинных преобразованиях (аффинных преобразованиях, сохраняющих объём). Проективная П. т. рассматривает проективно-инвариантные свойства поверхностей.

Лит.: Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956; Норден А. П., Теория поверхностей, М., 1956; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1-2, М. - Л., 1947-48; Бляшке В., Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна, пер. с нем., т. 1, М. - Л., 1935; Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М. - Л., 1948; Погорелов А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969; Фиников С. П., Проективно-дифференциальная геометрия, М. - Л., 1937; Широков П. А., Широков А. П., Аффинная дифференциальная геометрия, М., 1959; Blaschke W., Vorlesungen Über Differentialgeometrie, Bd 2, В., 1923; Biarichi L., Lezioni di geometria differenziale, 3 éd., t. 1-2, Bologna, 1937; Darboux G., Leçons sur la théorie générale des surfaces, 2 éd., t. 1-4, P., 1924-25.

Э. Г. Позняк.

Рис. 1 к ст. Поверхностей теория.

Рис. 2 к ст. Поверхностей теория.

Рис. 3 к ст. Поверхностей теория.

ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕОРИЯ

раздел дифференциальной геометрии, в котором изучаются свойства поверхностей, напр. измерение длин дуг линий, лежащих на поверхности, углов между двумя направлениями, площадей частей поверхности.

Википедия

Поверхность

Пове́рхность в геометрии и топологии — двумерное топологическое многообразие. Наиболее известными примерами поверхностей являются границы геометрических тел в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. С другой стороны, существуют поверхности (например, бутылка Клейна), которые нельзя вложить в трёхмерное евклидово пространство без привлечения сингулярности или самопересечения.

«Двумерность» поверхности подразумевает возможность реализовать на ней метод координат, хотя и необязательно для всех точек. Так, поверхность Земли (в идеале) представляет собой двумерную сферу, широта и долгота каждой точки которой являются её координатами (за исключением полюсов и 180-го меридиана).

Концепция поверхности применяется в физике, инженерном деле, компьютерной графике и прочих областях при изучении физических объектов. Например, анализ аэродинамических качеств самолёта базируется на обтекании потоком воздуха его поверхности.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Поверхность

Что такое поверхность - определение